1953 yılında Akseki'de (Antalya) doğdu.
1976 İstanbul Devlet Güzel Sanatlar Akademisi Grafik Bölümünden yüksek lisans diplomasını aldığı yıl, hocası Prof. Emin Barın'ın asistanı olarak aynı bölümde öğretim görevine başladı.
1983 Lâtin Yazısı konulu doktora çalışmasını tamamladı.
1987 Yrd. Doçent olarak Yazı Tasarımıdalında ihtisaslaştı.
Hat Sanatıyla ilgili çalışmalarına 1973 yılında; son yüzyılın ünlü hattatları olan Kemal Batanay'dan rika ve tâlîk, Hâmit Aytaç'tan sülüs ve nesih yazılarını meşk ederek başlamıştır. Her iki hattatın vefatlarına kadar, onlardan hat öğrenimini sürdürdü. Sonraları, hattat Prof. Ali Alparslan'dan dîvânî ve celî dîvânî yazılarını meşk etti. Bu arada hocası Prof. Emin Barın ve hat uzmanı Prof. Uğur Derman'la sıkça görüşerek hat sanatı hakkında bilgi ve görgüsünü arttırdı.
1986'da İslâm Tarih Sanat ve Kültür Araştırma Merkezi (IRCICA)'nin düzenlediği Uluslararası Hâmit Aytaç Hat Yarışmasında birincilik ve iki mansiyon aldı. Ayrıca, hat ve grafik konularında yurtiçi ve yurtdışında otuz kadar değişik ödülü, Türkiye'de ve diğer ülkelerdeki çeşitli koleksiyonlarda, levha, hilye, tuğra, câmi yazısı, ferman vb. formlarda çeşitli eserleri bulunmaktadır.
Sanat çalışmalarının yanı sıra üniversite öğretim üyeliği görevini de sürdüren Çevik'in, Latin Yazısı ve kaligrafi alanlarında da eserleri vardır. Bu konudaki ticari çalışmalarıyla birlikte, yerli ve yabancı birçok devlet başkanına ve idarecilere verilen berat, hediye, diploma, belge gibi kaligrafik çalışmaları da önemli yer tutmaktadır.
Klasik hat çalışmalarıyla birlikte kendine özgü modern uygulamalar da geliştiren Savaş Çevik, ayrıca, teorik bilgilendirmeler, yayınlar, hat kursları, jüri üyelikleri, yazı ve imza bilirkişiliği gibi konularda görev almıştır.
2002 yılında Mimar Sinan Üniversitesinden kendi isteğiyle emekli olan Savaş Çevik, Haliç Üniversitesi bünyesinde kuruluş çalışmalarını gerçekleştirdiği Grafik Bölümü’nde 2004 yılından beri öğretim görevini ve İstanbul'daki atölyesinde hat ve kaligrafi çalışmalarına devam etmektedir. Ayrıca İstanbul Büyükşehir Belediyesinin düzenlediği kurslarda (İSMEK) 2010 yılı itibariyle Temel Sanat Eğitimi kurslarını da yönetmekte ve Hat Branşı Zümre Başkanlığı görevini de sürdürmektedir.
Savaş Çevik bu güne kadar çeşitli ülkelerde 22 kişisel hat sergisi gerçekleştirmiş, ayrıca 90 karma sergiye katılmıştır. Sanatçı bir çok ulusal kanalda tv programları, radyo konuşmaları, çeşitli yayın organlarında röportajlar gerçekleştirmiş, sanat üzerine kırktan fazla konferans ve seminer etkinliğine imza atmış, çok sayıda etkinlikte ve tez yönetiminde jüri üyeliği yapmıştır.
Sempozyumlarda çok sayıda bildiri sunan Çevik'in yirmi beş adet yayımlanmış makalesi bulunmaktadır.